Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Sistem Persamaan Linier Olim SMP

Andelz - senantiasa selalu diberikan kesehatan, Aamiin. Postingan kali ini Ibu Guru akan membahas Soal Matematika, tentang Sistem Persamaan Linier Olim SMP, artikel ini kami rangkum sehingga mudah dipahami, efektif dan bermanfaat untuk pembaca, mari kita tingkatkan kesadaran terhadap pentingnya pendidikan agar lebih bersemangat dalam menuntut ilmu.

Pada artikel ini kita akan membahas tentang Sistem Persamaan Linier Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Sistem Persamaan Linier Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami oleh Pembaca.

A. Bentuk Sistem Persamaan Linear (SPL)

1). Sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV)
      
Bentuk SPL:
$ \left\{ \begin{array}{c}
ax+by=c \\
px+qy=r
\end{array}
\right. $
(i). Banyak solusi tunggal jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $
(ii). Banyak solusi tak hingga jika $ \frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r} $
(iii). Tidak punya solusi jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} $

2). Sistem persamaan linier lainnya
      
Ada sistem persamaan linier tiga variabel, ada empat variabel, dan seterusnya.

B. Penyelesaian SPL

        Untuk menyelesaikan system persamaan, ada beberapa
cara yaitu eliminasi, substitusi, gabungan (eliminasi dan substitusi).

Pembahasan Contoh Soal-soal:

        Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Sistem Persamaan Linier Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{x-y}{5} – \frac{x+y}{4} = \frac{1}{2} \\
2(x-y)-3(x+y)+1=0
\end{array}
\right. $

Contoh 2:
Selesaikan sistem berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
5,4x + 4,6y = 104 \\
4,6x + 5,4y = 96
\end{array}
\right. $

Contoh 3:
Carilah solusi dari SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+2(5x+y) = 16 \\
5x+y=7
\end{array}
\right. $

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} \\
x+3y+6z=15
\end{array}
\right. $

Contoh 5:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+ y = 5 \\
y + z = 6 \\
z + x = 7
\end{array}
\right. $

Contoh 6:
Selesaikan SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+2y=5 \\
y+2z=8 \\
z+2u = 11 \\
u+2x = 6
\end{array}
\right. $

Contoh 7:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dalam bentuk $ a $ , $ b $, dan $ c $.
$ \left\{ \begin{array}{c}
5x-y+3z=a \\
5y-z+3x = b \\
5z – x + 3y = c
\end{array}
\right. $

Contoh 8:
Terdapat $x, y $ , dan $ z $ memenuhi sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
2000(x-y) + 2001(y-z) + 2002(z-x) = 0 \\
2000^2 (x-y) + 2001^2 (y-z) + 2002^2 (z-x) = 2001
\end{array}
\right. $
Tentukan nilai $ z – y $?

Contoh 9:
Tentukan pasangan bilangan $ (x, y) $ dan nilai $ k $ dari sistem persamaan berikut!
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+(1+k)y=0 \\
(1-k)x + ky = 1 + k \\
(1+k)x + (12-k)y = -(1+k)
\end{array}
\right. $

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{x-y}{5} – \frac{x+y}{4} = \frac{1}{2} \\
2(x-y)-3(x+y)+1=0
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Sistem persamaan pada soal diubah (dengan menyamakan penyebut, dll), kita peroleh:
$ \left\{ \begin{array}{c}
-x – 9y = 10 \\
-x – 5y = -1
\end{array}
\right. $

*). Eliminasi variabel $ x $:
$ \begin{array}{cc}
-x – 9y = 10 & \\
-x – 5y = -1 & – \\
\hline
-4y = 11 & \\
y = -\frac{11}{4} &
\end{array} $

*). Substitusi $ y = -\frac{11}{4} $ ke salah satu persamaan:
$ \begin{align}
-x – 5y & = -1 \\
-x – 5 \left( -\frac{11}{4} \right) & = -1 \\
-x +\frac{55}{4} & = -1 \\
-x & = -1 – \frac{55}{4} \\
-x & = -\frac{59}{4} \\
x & = \frac{59}{4}
\end{align} $

Jadi, solusinya $ x = \frac{59}{4} $ dan $ y = -\frac{11}{4} . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Selesaikan sistem berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
5,4x + 4,6y = 104 \\
4,6x + 5,4y = 96
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan kedua persamaan:
$ 10x + 10y = 200 $ (bagi 10)
$ x + y = 20 $ … (iii)

*). (ii) kali 10 dan (iii) kali 46
$ \begin{array}{cc}
46x + 54y = 960 & \\
46x + 46y = 920 & – \\
\hline
8y = 40 & \\
y = 5 &
\end{array} $

*). Substitusi $ y = 5 $ ke pers (iii):
$ \begin{align}
x + y & = 20 \\
x + 5 & = 20 \\
x & = 15
\end{align} $

Jadi, penyelesaiannya $ x = 15 $ dan $ y = 5 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Carilah solusi dari SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+2(5x+y) = 16 \\
5x+y=7
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi pers(ii) ke (i):
$ \begin{align}
x+2(5x+y) & = 16 \\
x+2(7) & = 16 \\
x+14 & = 16 \\
x & = 2
\end{align} $

*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers (ii):
$ \begin{align}
5x + y & = 7 \\
5(2) + y & = 7 \\
10 + y & = 7 \\
y & = -3 \\
\end{align} $

Jadi, solusi $ x = 2 $ dan $ y = -3 . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} \\
x+3y+6z=15
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan per(i) hasilnya $ k $
$ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k $
Sehingga $ x = 2k $ , $ y = 3k $ , dan $ z = 5k $

*). Substitusi ke pers(ii) :
$ \begin{align}
x+3y+6z & =15 \\
2k+3(3k)+6(5k) & =15 \\
2k+9k+30k & =15 \\
41k & =15 \\
k & = \frac{15}{41}
\end{align} $

*). Substitusi nilai $ k $
$ x = 2k = 2 \times \frac{15}{41} = \frac{30}{41} $
$ y = 3k = 3 \times \frac{15}{41} = \frac{45}{41} $
$ z = 5k = 5 \times \frac{15}{41} = \frac{75}{41} $

Jadi, nilai $ x= \frac{30}{41}, y = \frac{45}{41} $
dan $ z = \frac{75}{41} . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+ y = 5 \\
y + z = 6 \\
z + x = 7
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan ketiga persamaan:
$ \begin{align}
2x + 2y + 2z & = 18 \\
x + y + z & = 9 \, \, \text{…(iv)}
\end{align} $

*). Substitusi setiap persamaan ke pers (iv):
$ \begin{align}
x + y = 5 \rightarrow x + y + z & = 9 \\
5 + z & = 9 \\
z & = 4 \\
y + z = 6 \rightarrow x + y + z & = 9 \\
x + 6 & = 9 \\
x & = 3 \\
z + x = 7 \rightarrow x + y + z & = 9 \\
y + 7 & = 9 \\
y = 2
\end{align} $

Jadi, solusinya $ x = 3, y = 2, z = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Selesaikan SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+2y=5 \\
y+2z=8 \\
z+2u = 11 \\
u+2x = 6
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita ubah setiap persamaan menjadi variabel lainnya:
$ \begin{align}
u + 2x = 6 \rightarrow u & = 6 – 2x \\
z + 2u = 11 \rightarrow z & = 11 – 2u \\
z & = 11 – 2(6 – 2x) \\
z & = 4x – 1 \\
y + 2z = 8 \rightarrow y & = 8 – 2z \\
y & = 8 – 2(4x – 1) \\
y & = 10 – 8x \\
x + 2y = 5 \rightarrow x + 2y & = 5 \\
x + 2(10 – 8x) & = 5 \\
x + 20 – 16x & = 5 \\
-15x & = -15 \\
x & = 1
\end{align} $

Nilai variabel lainnya yaitu:
$ y = 10 – 8x = 10 – 8 . 1 = 2 $
$ z = 4x – 1 = 4.1 – 1 = 3 $
$ u = 6 – 2x = 6 – 2.1 = 4 $

Jadi, nilai $ x = 1, y = 2, z = 3, u = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dalam bentuk $ a $ , $ b $, dan $ c $.
$ \left\{ \begin{array}{c}
5x-y+3z=a \\
5y-z+3x = b \\
5z – x + 3y = c
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui :
$ 5x-y+3z=a $ …. (i)
$ 5y-z+3x = b $ …. (ii)
$ 5z – x + 3y = c $ …. (iii)

*). Eliminasi dua variabel sekaligus:
-). 2 $ \times $ (i) + (ii) – (iii):
$ \begin{align}
14x & = 2a + b – c \\
x & = \frac{2a + b – c}{14}
\end{align} $
-). 2 $ \times $ (ii) + (iii) – (i):
$ \begin{align}
14y & = 2b + c – a \\
y & = \frac{2b + c – a}{14}
\end{align} $
-). 2 $ \times $ (iii) + (i) – (ii):
$ \begin{align}
14z & = 2c + a – b \\
z & = \frac{2c + a – b}{14}
\end{align} $

Jadi, diperoleh hasil seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Terdapat $x, y $ , dan $ z $ memenuhi sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
2000(x-y) + 2001(y-z) + 2002(z-x) = 0 \\
2000^2 (x-y) + 2001^2 (y-z) + 2002^2 (z-x) = 2001
\end{array}
\right. $
Tentukan nilai $ z – y $?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan:
$ u = x – y $, $ v = y – z $, dan $ w = z- x $
*). Sistem persamaannya menjadi:
$ u + v + w = 0 $ …. (i)
$2000u + 2001v + 2002w = 0 $ …. (ii)
$ 2000^2 u + 2001^2v + 2002^2 w = 2001 $ …. (iii)

*). Eliminasi variabelnya:
-). 2001 $ \times $ (i) – (ii) :
$ u – w = 0 \rightarrow u = w $
-). 2000 $ \times $ (i) – (ii) :
$ v – 2w = 0 \rightarrow v = -2w $
-). Persamaan (iii):
$ \begin{align}
2000^2 u + 2001^2v + 2002^2 w & = 2001 \\
2000^2 w + 2001^2 (-2w) + 2002^2 w & = 2001 \\
w(2000^2 – 2 \times 2001^2 + 2002^2 ) & = 2001 \\
w([2000^2 – 2001^2] + 2002^2- 2001^2] ) & = 2001 \\
w([-4001] + 4003] ) & = 2001 \\
w(2 ) & = 2001 \\
2w & = 2001
\end{align} $

*). Menentukan $ z – y $:
$ \begin{align}
z – y & = -(y-z) \\
& = -v \\
& = – (-2w) \\
& = 2w \\
& = 2001
\end{align} $

Jadi, nilai $ z – y = 2001 . \, \heartsuit $

Contoh 9:
Tentukan pasangan bilangan $ (x, y) $ dan nilai $ k $ dari sistem persamaan berikut!
$ \left\{ \begin{array}{c}
x+(1+k)y=0 \\
(1-k)x + ky = 1 + k \\
(1+k)x + (12-k)y = -(1+k)
\end{array}
\right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui:
$ x+(1+k)y=0 $ …. (i)
$ (1-k)x + ky = 1 + k $ …. (ii)
$ (1+k)x + (12-k)y = -(1+k) $ …. (iii)

*). (ii) + (iii), diperoleh:
$ 2x + 12y = 0 \rightarrow x = -6y $
*). Substitusi $ x = -6y $ ke (i):
$ \begin{align}
x+(1+k)y & = 0 \\
-6y+(1+k)y & = 0 \\
(-6+1+k)y & = 0 \\
(-5 + k)y & = 0 \\
k = 5 \vee y & = 0
\end{align} $

*). Ada dua kemungkinan:
-). Untuk $ y = 0 $
maka $ x = 0 $ dan dari (ii) diperoleh $ k = -1 $
-). Untuk $ k = 5 $
(ii). $ (1-5)(-6y) + 5y = 1 + 5 $
$ 29y = 6 \rightarrow y = \frac{6}{29} $ dan
$ x = -6y = -\frac{36}{29} $

Jadi, ada dua kemungkinan hasilnya$ . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

        Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Sistem Persamaan Linier Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). $ x = 2 $ dan $ y = 1 $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
ax+by=7 \\
bx+cy=5
\end{array}
\right. $
Hubungan $ a $ dan $ c $ adalah …?
A). $ 4a + c = 9 $
B). $ 2a + c = 9 $
C). $ 4a – c = 9 $
D). $ 2a – c = 9 $

2). Berikut adalah sistem persamaan dengan variable $ x $ dan $ y $.
Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c}
3x-y=5 \\
2x+y – z = 0 \\
4ax + 5by – z = -22
\end{array}
\right. $
Dan sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
ax-by+z=8 \\
x+y+5=c \\
2x + 3y = -4
\end{array}
\right. $
Memiliki solusi yang sama. Nilai $ (a, b, c) $ adalah …?
A). $ (2, 3, 4) $
B). $ (3. 4. 5) $
C). $ (-2, -3, -4) $
D). $ (-3, -4, -5) $

3). Tentukan nilai $ k $ agar sistem persamaan berikut
$ \left\{ \begin{array}{c}
kx-y = -\frac{1}{3} \\
3y=1-6x
\end{array}
\right. $
Memiliki solusi:
(a). satu solusi (solusi tunggal)
(b). tidak ada solusi
(c). banyak solusi

4). Diketahui sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{ab}{a+b} = 2 \\
\frac{ac}{a+c} = 5 \\
\frac{bc}{b+c} = 4
\end{array}
\right. $
Tentukan nilai $ a + b + c $

5). Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x-y+z=1 \\
y-z+u = 2 \\
z-u + v = 3 \\
u – v + x = 4 \\
v – x + y = 5
\end{array}
\right. $

6). Diketahui sistem persamaan:
$ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 0 $
$ \frac{1}{x} – \frac{6}{y} – \frac{5}{z} = 0 $
Tentukan nilai dari $ \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} $

7). Sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian bilangan bulat.
$ \left\{ \begin{array}{c}
mx + 2y = 10 \\
3x – 2y = 0
\end{array}
\right. $
Tentukan nilai dari $ m^2 $?

8). Tentukan solusi dari sistem persamaan:
$ x + y + z + u = 10 $
$ 2x + y + 4z + 3u = 29 $
$ 3x + 2y + z + 4u = 27 $
$ 4x + 3y + z + 2u = 22 $

9). Tentukan solusi dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3} \\
\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4}
\end{array}
\right. $

10). Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c}
x(y+z-x) = 60 – 2x^2 \\
y(z+x-y) = 75 – 2y^2 \\
z(x+y-z) = 90 – 2z^2
\end{array}
\right. $

11). Tentukan solusi dari sistem persamaan:
$ 2x + y + z + u + v = 16 $
$ x + 2y + z + u + v = 17 $
$ x + y + 2z + u + v = 19 $
$ x + y + z + 2u + v = 21 $
$ x + y + z + u + 2v = 23 $

12). Diketahui sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c}
3x + 7y + z = 315 \\
4x + 10y + z = 420
\end{array}
\right. $
Tentukan nilai dari $ x + y + z $?

13). Diketahui sistem persamaan:
$a+4b+9c+16d+25e=1$
$4a+9b+16c+25d+36e=12$
$9a+16b+25c+36d+49e=123$
Tentukan nilai $16a+25b+36c+49d+64e$?

Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Sistem Persamaan Linier Olim SMP.
(masih dalam proses pengetikan)

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B



Ikuti terus Andelz di aplikasi Google News dengan cara klik Following untuk mendapatkan update Soal Matematika, terbaru dengan sangat mudah.

Demikian Tentang Sistem Persamaan Linier Olim SMP

Terima kasih atas kunjungannya, untuk berdiskusi tentang Sistem Persamaan Linier Olim SMP, silahkan tulis pada kolom komentar atau bisa menghubungi dengan klik menu kontak di blog ini, dan jangan lupa untuk share ke media sosial kalian ya ^-^, Sekian dari kami semoga bermanfaat, salam Pendidikan!

Artikel ini sudah publish dengan link https://www.andelina.me/2022/08/sistem-persamaan-linier-olim-smp.html.

Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
Super Thanks Silahkan yang ingin mentraktir Admin, Dana akan digunakan untuk pengembangan website ini www.andelina.me, Terima kasih.