Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $i
Andelina.me -
semoga sehat selalu. Pada artikel ini kamu akan mengetahui lebih banyak tentang
Matematika, mengenai Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $i. Untuk lebih jelasnya simak ulasan lengkap di bawah ini.
Untuk berdiskusi tentang Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $i, silahkan tulis pada kolom komentar atau bisa menghubungi dengan klik menu kontak di blog ini, dan share info ini sebanyak-banyaknya ke media sosial kalian ya ^-^ Semoga bermanfaat, salam Pendidikan!
Artikel ini sudah publish dengan link https://www.andelina.me/2017/02/pencerminan-terhadap-garis-y-mxc-i.html.
Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
 |
| Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $i |
Sebelumnya telah kita bahas tentang “refleksi atau pencerminan pada transformasi”
dimana dilakukan pencerminan terhadap garis horizontal (sumbu X dan garis $ y = k $) dan garis vertikal (sumbu Y dan garis $ x = h$) serta pencerminan
terhadap garis $ y = x $ dan $ y = – x$. Nah, pada artikel ini akan kita lanjutkan dengan Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ yang bentuk garis
nya lebih bervariasi.
Bagaimana cara mengerjakan soal Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $? Ternyata pengerjaan
pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ menggunakan konsep “rotasi pada transformasi geometri”. Ini artinya, pengerjaannya sama saja dengan Rotasi.
Sehingga dalam Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ kita membutuhkan matriksnya dan titik pusat serta besar sudutnya ($\theta$). Perhatikan ilustrasi
gambar berikut ini, pencerminan titik A($x,y$) terhadap garis $ y = mx + c $ dengan sudut $ \theta $ dan pusat rotasi $ (0,c) $ menghasilkan
bayangan titik $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$ :
Untuk memudahkan mempelajari materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ ini, sebaiknya teman-teman
menguasai beberapa teori tentang trigonometri seperti “perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku”, “nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa”,
dan “sudut rangkap pada trigonometri”. Selain itu teman-teman juga harus menguasai materi “operasi hitung pada matriks” dan “determinan dan sifat invers”.
Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $
Perhatikan gambar pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ di atas. Titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis
$ y = mx + c $ pengerjaannya sama dengan rotasi yaitu :
pusatnya : $(a,b) = (0,c) $
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = m \, $ dan $ m $ adalah gradien garis $ y = mx + c $
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right) $ .
*). Cara pengerjaannya menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime – c \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right)$
Catatan :
*). Jika nilai $ c = 0 $ atau pencerminan terhadap garis $ y = m x $, maka cara mencari bayangannya yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Untuk pembuktian matriks transformasinya, silahkan baca pada artikel : “Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$”
Contoh soal pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ :
1). Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = x + 2 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = x + 2 $ , kita peroleh $ m = 1 $ dan $ c = 2 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 1 \rightarrow \theta = 45^\circ $.
*). Menentukan bayangan titik A(1,5) :
$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \cos 2 .45^\circ & \sin 2. 45^\circ \\ \sin 2. 45^\circ & – \cos 2. 45^\circ \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 \\ 5 – 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & – \cos 90^\circ \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 + 0 \\ 1 + 2 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right)
\end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (3,3). \, \heartsuit $.
2). Tentukan bayangan titik P(-1,2) jika dicerminkan terhadap garis $ y = \sqrt{3}x – 3 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = \sqrt{3}x – 3 $ , kita peroleh $ m = \sqrt{3} $ dan $ c = -3 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \rightarrow \theta = 60^\circ $.
*). Menentukan bayangan titik P(-1,2) :
$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \cos 2 .60^\circ & \sin 2. 60^\circ \\ \sin 2. 60^\circ & – \cos 2. 60^\circ \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 – (-3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & – \cos 120^\circ \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} – 3 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}) \\ \frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) – 3 \end{matrix} \right)
\end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime \left( \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}),\frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) – 3 \right). \, \heartsuit $.
3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya $ \theta $ :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \rightarrow \frac{depan}{samping} = \frac{2}{1} $.
Karena $ \tan \theta = 2 $ tidak menghasilkan sudut istimewa, kita buatkan segitiga siku-sikunya :
gambar 2.
Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $.
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align}
\cos 2\theta & = 2\cos ^2 \theta – 1 \\
& = 2 ( \frac{1}{\sqrt{5}})^2 – 1 \\
& = 2 ( \frac{1}{5}) – 1 \\
& = \frac{2}{5} – 1 \\
& = – \frac{3}{5} \\
\sin 2 \theta & = 2\sin \theta \cos \theta \\
& = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} \\
& = \frac{4}{5}
\end{align} $
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right)
\end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
4). Tentukan bayangan persamaan $ 2x + 3y = 1 $ jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x – 1 $?
Penyelesaian :
*). bentuk $ y = 2x – 1 \rightarrow m = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Adapun nilai $ \sin 2\theta $ dan $ \cos 2\theta $ sama dengan contoh soal nomor (3) di atas, yaitu :
$ \cos 2\theta = – \frac{3}{5} \, $ dan $ \sin \frac{4}{5} $.
*). Menentukan invers matriksnya :
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
= \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $.
Determinan matriks M :
$ det(M) = |M| = -\frac{3}{5} . \frac{3}{5} – \frac{4}{5} . \frac{4}{5} = -\frac{9}{25} – \frac{16}{25} = – 1 $
Invers matriksnya :
$ \begin{align}
M^{-1} & = \frac{1}{|M|} . adj(M) \\
& = \frac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\
& = -1 . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\end{align} $
Sifat Invers : $ AX = C \rightarrow X = A^{-1}.C $.
*). Menentukan Hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime – c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime – c \end{matrix} \right) & = M. \left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) & = M^{-1}. \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime – c \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x \\ y – (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right).
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime – (-1) \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} (y^\prime + 1) \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}(y^\prime + 1) \end{matrix} \right) \\
\left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\end{align} $
kita peroleh :
$ x = -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} $
$ y + 1 = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime – \frac{2}{5} $
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align}
2x + 3y & = 1 \\
2\left( -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \right) + 3\left(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime – \frac{2}{5} \right) & = 1 \\
-\frac{6}{5}x^\prime + \frac{8}{5} y^\prime + \frac{8}{5} + \frac{12}{5}x^\prime + \frac{9}{5}y^\prime – \frac{6}{5} & = 1 \\
\frac{6}{5}x^\prime + \frac{17}{5} y^\prime + \frac{2}{5} & = 1 \\
6x^\prime + 17 y^\prime + 2 & = 5 \\
6x^\prime + 17 y^\prime & = 3
\end{align} $
sehingga bayangannya :
$ 6x^\prime + 17 y^\prime = 3 \, $ atau $ 6x + 17 y = 3 $
Jadi, persamaan bay;angannya adalah $ 6x + 17 y = 3 . \, \heartsuit $
Catatan Pertama :
*). Jika teman-teman sulit menggunakan bentuk trigonometrinya, maka untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ kita bisa langsung
menggunakan bentuk berikut :
jika diketahui gradiennya $ m $ , maka $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $.
*). Silahkan teman-teman coba kembali mengerjakan soal-soal di atas dengan langsung menggunakan bentuk pada catatan ini.
Misalkan kita kerjakan kembali contoh soal nomor 3 di atas :
Pengerjaan ulang contoh (3).
Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align}
\cos 2\theta & = \frac{1-m^2}{1+m^2} = \frac{1-2^2}{1+2^2} = \frac{-3}{5} \\
\sin 2 \theta & = \frac{2m}{1 + m^2} = \frac{2.2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}
\end{align} $
*). Langkah berikutnya sama dengan pengerjaan di atas.
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2\theta \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} x \\ y – c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\
& = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right)
\end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
Catatan Kedua :
*). Dari rumus umum transformasi geometri dan bentuk catatan pertama (substitusikan
bentuk $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $ ke rumus umum transformasi geometrinya), maka dapat kita peroleh
hasil akhir bayangannya yaitu :
$ \begin{align}
x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\
y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x – \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c
\end{align} $
*). Coba kita aplikasikan lagi ke contoh nomor (3) di atas :
Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $?
Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
$ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $.
dan titik awal B yaitu $ (x,y)= (5,5) $.
*). Menentukan bayangan titik B(5,5) :
$ \begin{align}
x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\
& = \frac{1-2^2}{1+2^2} \times 5 + \frac{2.2}{1 + 2^2}\times (5-5) \\
& = \frac{-3}{5} \times 5 + \frac{4}{5}\times 0 \\
& = -3 + 0 = -3 \\
y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x – \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \\
& = \frac{2.2}{1+2^2} \times 5 – \frac{1-2^2}{1 + 2^2}\times (5-5) + 5 \\
& = 4 + 0 + 5 = 9
\end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.
Ikuti terus Andelina.me di aplikasi Google News klik following, dapatkan update
Matematika terbaru dengan sangat mudah.
Untuk berdiskusi tentang Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $i, silahkan tulis pada kolom komentar atau bisa menghubungi dengan klik menu kontak di blog ini, dan share info ini sebanyak-banyaknya ke media sosial kalian ya ^-^ Semoga bermanfaat, salam Pendidikan!
Artikel ini sudah publish dengan link https://www.andelina.me/2017/02/pencerminan-terhadap-garis-y-mxc-i.html.
Disclaimer: Setiap artikel yang berhubungan dengan soal-soal beserta kunci jawabannya, bertujuan untuk membantu siswa belajar dalam persiapan menghadapi UTS/PTS maupun UAS/PAT di sekolah. Tidak ada unsur membocorkan soal yang sifatnya rahasia.
Super ThanksSilahkan yang ingin mentraktir Admin, Dana akan digunakan untuk pengembangan website ini
www.andelina.me, Terima kasih.
